16 Introduction à la régression spline

Exercice 1 (Questions de cours)  

  1. C
  2. A
  3. A
  4. B

Exercice 2 (Fonction polyreg)  

  1. On importe les données

    ozone <- read.table("../donnees/ozone_simple.txt",header=T,sep=";")
sdT12 <- sd(ozone$T12)

  2. On crée la grille

    grillex <- seq(min(ozone$T12)-sdT12,max(ozone$T12)+sdT12, length =100)

  3. On transforme en data frame

    df <- data.frame(T12=grillex)

  4. On effectue une régression polynomiale de degré 3

    basepoly <- poly(ozone$T12,degree=3,raw=T)
newval <- predict(basepoly,df$T12)
dfpoly <- data.frame(O3=ozone$O3,basepoly)
regpoly <- lm(O3~.,data=dfpoly)

  5. On prévoit sur une grille

    dfnewval <- data.frame(newval)
prev <- predict(regpoly,dfnewval) 
plot(O3~T12,data=ozone)
lines(grillex,prev,col=2)

  6. Création de la fonction

    polyreg <- function(ozone,degre=3){
  sdT12 <- sd(ozone$T12)
  grillex <- seq(min(ozone$T12)-sdT12,max(ozone$T12)+sdT12, length =100)
  df <- data.frame(T12=grillex)
  basepoly <- poly(ozone$T12,degree=3,raw=T)
  newval <- predict(basepoly,df$T12)
  dfpoly <- data.frame(O3=ozone$O3,basepoly)
  regpoly <- lm(O3~.,data=dfpoly)
  dfnewval <- data.frame(newval)
  prev <- predict(regpoly,dfnewval)
  return(list(grillex,prev))
  }

Exercice 3 On applique la fonction précédente

ozone <- read.table("../donnees/ozone_simple.txt",header=T,sep=";")
plot(O3 ~ T12, xlim=c(0,35), ylim=c(0,150), data=ozone)
iter <- 1
for(ii in c(1,2,3,9)){
    tmp <- polyreg(ozone,d=ii)
    lines(tmp$grillex,tmp$grilley,col=iter,lty=iter)
    iter <- iter+1
    }
legend(15,150,c("d=1","d=2","d=3","d=9"),col=1:4,lty=1:4)

Exercice 4 Considérons la matrice \(X_B\) du plan d’expérience obtenue à partir d’une variable réelle \(X\) transformée dans \(\mathcal{S}_{\xi}^{d+1}\) . Cette matrice est composée des \(d+K+1\) fonction de base notée \(b_j\) et où \(K\) est le nombre de noeuds intérieurs et \(d\) le degré.

Dans le cours, il est indiqué que les fonctions de base \(b_j\) et \(b_{j+d+1}\) en conservant l’ordre des fonctions. Donc \(b_1\) est orthogonale à toutes les fonctions \(b_j\) avec \(j>d+1\), idem pour \(b_2\) avec \(j>d+2\).

En faisant donc le calcul \(X_B'X_B\) on obtient une matrice bande et donc les termes \(a_{ij}\) sont nuls quand \(j>i+d+1\).

On en déduit que les paramètres estimées \(\hat \beta_k\) ne sont pas corrélés avec les \(\hat \beta_j\) dès que \(j>k+d+1\). XB est une matrice bande.